BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG KONTINUE HAMPIRAN NORMAL TERHADAP BINOMIAL, DISTRIBUSI GAMMA, EKSPONENSIAL

 BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG KONTINUE

HAMPIRAN NORMAL TERHADAP BINOMIAL, DISTRIBUSI GAMMA, EKSPONENSIAL

1.   Hampiran Normal terhadap Binominal

Hampiran normal dipakai untuk menghitung peluang binominal bila p tidak dekat dengan nol atau 1. Hampiran tersebut baik sekali bila n besar dan cukup baik untuk nilai n yang kecil asal saja p cukup dekat ½ . Hampiran normal masih baik dipakai bila np maupun ng lebih besar dari 5.

 

Teorema

Bila x peubah acak binominal dengan rataan  = np dan variansi s² = npq maka bentuk limit distribusi

Z =

Bila n ®  ialah distribusi normal baku n (z, 0, 1)

Oleh karena distribusi binominal mempunyai variabel diskrit, sedangkan distribusi normal bervariabel kontinue, maka dalam menggunakan distribusi normal untuk memecahkan persoalan binominal perlu diadakan penyesuaian sebagai berikut : untuk harga variabel x batas bawah diundurkan 0,5 dan harga variabl x batas atas diajukan 0,5.

Ternyata  distribusi normal dengan  dan  merupakan hampiran yang sangat baik terhadap ditribusi binomial bila n besar dan p dekat ke 0 atau 1. Malahan  jika n ­kecil tapi p mendekati ½  , hampiran masih cukup baik.

            Untuk melihat hampiran distribusi normal terhadap distribusi binomial, mula-mula dilukiskan histogram  dan kemudian melatakkan kurva normal dengan rataan dan variansi yang sama dengan peubahbinomial X  sehingga keduanya saling tumpang tindih. Untuk itu lukiskan kurva normal dengan

Dan

Histrogram  dan kurva normal padanannya, yang seluruhnya telah tertentu oleh rataan dan varinsinya seperti pada gambar .

Peluang yang tepat dari peubah acak binomial X  mendapatkan suatu nilai x tertentu  denganluas persegi panjang yang dasarnya mempunyai titik tengah x.

Sebagai contoh, peluang yang tepat bahwa X nilainya 4 sama dengan luas persegi panjang dengan dasar yang titik tengahnya x = 4. Dengan menggunakan tabel L1, luas tadi adalah

= 0,1268

Luas secarah hampiran sama dengan luas daerah yang diarsir dibawah kurva normal antara ordinat x­₁= 3,5 dan x₂ = 4,5 pada gambar dibawah, jika diubah kenilai z  maka diperoleh.

Bila X peubah acak binomial dan Z peubah normal baku

P(X=4) = b(4; 15 , 0,4)
           
           
           
           

Hal ini cukup dekat dengan nilai sesungguhnya sebesar 0,1268

2.   Distribusi Gamma

Eksperimen-eksperimen probabilitas yang hasilnya menunjukkan suatu bentuk distribusi yang mempunyai variasi ukuran kemencengan yang cukup signifikan, distribusi Gamma merupakan salah satu alternatif model yang banyak digunakan. Terlebih dahulu akan diperkenalkan sebuah fungsi gamma.

v  Fungsi gamma r (a) adalah :

r (a) = , untuk a > 0

Sifat-sifat penting fungsi gamma adalah :

1.      Untuk sebuah bilangan bulat positif n,  (n) = (n – 1) !

2.      Didefinisikan =  (1/2) =

v  Distribusi gamma

Peubah acak kontinu x berdistribusi gamma, dengan parameter a dan b, bila padatnya diberikan oleh :

f(x : a, b) =

                  = 0 untuk x lainnya

Bila a > 0 dan b > 0

v  Distribusi Gamma Standard

Jika parameter skala sebuah distribusi gamma b = 1 diperoleh suatu distribusi gamma standar.

F_G = (x : a) = P (X £ x) =

P (X£ x) = F_G (x ; a, b) = F_G

Contoh :

Variable acak kontinu x yang menyatakan ketahanan suatu bantalan peluru  (dalam ribaun jam) yang diberi pembebanan dinamis pada suatu putaran kerja tertentu mengikuti suatu distribusi gamma dengan a = 8 dan b = 15, Tentukan, probabilitas sebuah bantalan peluru dapat digunakan selama 60 ribu-120 ribu jam dengan pembebanan dinamik pada putaran kerja tersebut!

Jawab :

P (60 x £ 120) = P (x £ 120) – P (x £ 60)

                            = F_G (120; 8 , 15)  - F_G (60 ; 8, 15 )

                            = F_G (120/15 ; 8) - F_G (60/15; 8)

                            = F_G (8 ;8) - F_G (4 ; 8)

                            = 0,5470 – 0,0511 = 0,4959

3.   Distribusi Eksponensial

Distribusi Gamma khususnya dengan a = 1 disebut distribusi eksponensial. Peubah acak kontinu x distribusi eksponensial dengan parameter b, bila fungsi padatnya diberikan oleh :

 

1.      f_E (x ; )   = e^-x/b x ³ 0

                        = 0 untuk x lainnya

      Dengan b > 0

2.      F_E (x ; ) = P (X £ x) = = 1 – e^-x/b

Contoh :

Misalkan x adalah waktu (response time) suatu terminal komputer on-line yang merupakan tenggang waktu antara masuknya suatu permintaan dari pengguna sampai sistem mulai memberikan tanggapan atas permintaan tersebut, memiliki suatu distribusi eksponensial dengan waktu tanggap rata-rata 5 detik. Jika seseorang perintah tersebut akan dijalankan selambat-lambatnya setelah 10 detik.

P (X £ 10) = F (10 ; ) = 1 – e^-10/0,2 = 1 – e^-2 = 1 – 0,135 = 0,865

Hubungan antara distribusi eksponensial ( sering disebut eksponensial negatif) dan proses poison sangat sederhana. Di BAB 4 distribusi poisonditurunkan sebagi distribusi berparameter tunggal dengan parameter , disini λ dapat ditafsirkan sebagai rataan banyaknya kejadian persatuan waktu. Pandang sekarang peubah acak yang diberikan dan waktu yang diperlukan agar kejadian pertama muncul. Dengan menggunakan distribusi poison, kita peroleh bahwa peluang tidak ada kejadian yang muncul dalam janka waktu t  diberikan oleh

Sekarang di atas akan digunakan misalkan  X waktu sampai kejadian Poisson yang pertama. Peluang bahwa jangka waktu sampai kejadian pertama melampaui x  sama dengan peluang bahwa tidak ada kejadian poisson dalam kejadian x tentu sama dengan        , dengan demikian

Jadi fungsi distribusi tumpukan untuk X adalah

Sekarang agar kita sadar tentang keberadaan distribusi eksponensial , turunkanlah distribusi tumpukan diatas sehingga diperoleh fungsi padat

Yang merupakan fungsi padat dari distribusi exsponensial dengan λ =