rezkimatematika: Model SIR

Suatu infeksi penyakit dikatakan endemik apabila setiap orang yang terinfeksi penyakit akan menularkannya ke individu lain. Ketika infeksi tersebut tidak hilang dan jumlah orang yang terinfeksi bertambah, maka infeksi tersebut dikatakan berada dalam keadaan endemik. Model SIR merupakan model penyakit yang memperoleh kekebalan permanen dan keadaan pulih dari penyakit tersebut. Model SIR menggambarkan alur penyebaran penyakit dari individu yang rentan (Susceptibles) menjadi individu terinfeksi penyakit menular (Infected) melalui kontak langsung maupun perantara lain, misal batuk, bersin, melalui makanan dan minuman. Selanjutnya, individu dalam kelompok Infected yang mampu bertahan terhadap penyakit akan sembuh dan masuk ke kelompok individu pulih dari penyakit dan memiliki kekebalan (Recovered).

Model epidemi SIR, pada suatu populasi dibagi menjadi tiga kelompok, yaitu :

1) Susceptible (S), yaitu kelompok individu yang sehat tapi rentan terinfeksi.

2) Infected (I), yaitu kelompok individu yang terinfeksi penyakit menular.

3) Recovered (R), yaitu kelompok individu yang telah pulih dan memiliki kekebalan permanen untuk tidak tertular penyakit yang sama.

Model epidemi SIR dibangun berdasarkan asumsi-asumsi :

1) Populasi konstan.

2) Satu-satunya cara orang dapat meninggalkan kelompok rentan yaitu dengan cara terinfeksi penyakit, satu-satunya cara orang yang terinfeksi ingin sembuh, yaitu dengan proses pemulihan. Setelah itu, seseorang dapat sembuh, dan memiliki kekebalan tubuh.

3) Umur, seks, status sosial, dan ras tidak berpengaruh untuk terkena infeksi.

4) Tidak ada kekebalan tubuh yang turun temurun.

5) Suku dari populasi campuran memiliki interaksi yang sama dengan orang lain pada tingkat yang sama.

Jumlah individu untuk masing-masing kelompok pada waktu 𝑡 dinyatakan sebagai , , dan 𝑅(𝑡). Total populasi 𝑁 diasumsikan konstan karena kelahiran dan kematian diasumsikan memiliki laju yang sama, dan pengaruh luar tidak diperhatikan. Maka,

...(3.1)

Yang dimana N merupakan jumlah populasi total dari suatu kelompok masyarakat.

b. Solusi Model Matematika SIR

...(3.2)

...(3.3)

...(3.4)

Ket :

= jumlah individu rentan terhadap waktu.

𝑑𝐼𝑑𝑡 = jumlah individu terinfeksi terhadap waktu.

= jumlah individu yang telah pulih terhadap waktu.

𝑘 = laju pemulihan (𝑘≥ 0).

𝛽 = laju rata-rata penularan penyakit (𝛽≥0).

α = kemungkinan terjadi infeksi.

Gambar 1: Model Epidemi SIR

Individu yang sembuh dari penyakit akan bergabung pada kelompok 𝑅. kelompok 𝐼 menerima perpindahan dari kelompok 𝑆 sebesar 𝛽𝑆 𝑡 𝐼(𝑡) dan melepaskan menuju kelompok 𝑅 sebesar 𝑘. Dalam model SIR, dapat diselesaikan menggunakan persamaan diferensial dengan menggunakan metode Euler. Diketahui persamaan diferensial dalam model SIR (3.2), (3.3), (3.4). Dengan menggunakan solusi metode Euler :

Dari persamaan (3.1)

Solusi metode Euler untuk kelompok Recovered,

Dari persamaan (3.4) 𝑑𝑅𝑑𝑡= (𝑡,) 𝑅𝑛+1− (𝑡𝑛+1− 𝑡𝑛)= 𝑓 𝑡,𝑅 𝑅𝑛+1− 𝑅𝑛=𝑓 𝑡,𝑅 (𝑡𝑛+1− 𝑡𝑛)

Dari persamaan diferensial model matematika SIR, dengan menggunakan metode Euler didapatkan solusi dari persamaan diferensial diatas yaitu :

Yang dimana

adalah bilangan dari populasi rentan, terinfeksi, dan pulih dengan waktu

), dan Δ𝑡 adalah perubahan waktu terkecil dengan

2. Model Lotka Volterra (Mangsa Pemangsa)

a. Pembentukan Model Mangsa Pemangsa

Untuk mengkontruksi model mangsa pemangsa dalam fungsi respon Michaelis-Menten pada populasi mangsa dan pemangsa dengan dilakukan pemanenan pada populasi pemangsa maka diperlukan asumsi-asumsi sebagai berikut:

1) Dalam model ini hanya ada dua spesies yaitu mangsa (prey) dan pemangsa (predator)

2) Persediaan makanan untuk mangsa cukup

3) Persediaan makanan pemangsa bergantung pada populasi mangsa

4) Populasi mangsa akan menurun pada saat terjadinya interaksi mangsa dengan pemangsa karena mangsa akan dikonversi oleh pemangsa untuk kebutuhan pertumbuhannya

5) Populasi pemangsa akan meningkat pada saat terjadinya interaksi mangsa dan pemangsa karena mangsa akan dikonversi oleh pemangsa untuk kebutuhan pertumbuhannya.

6) Gerakan dan kontak mangsa dan pemangsa berlangsung secara acak sehingga setiap individu mangsa memiliki peluang yang sama untuk dimangsa.

7) Dalam interaksi, mangsa merespon kehadiran pemangsa sehingga pemangsa memerlukan waktu untuk menangkap mangsa

8) Pada populasi pemangsa dilakukan pemanenan setelah banyaknya populasi pemangsa mencapai ambang batas pemanenan.

b. Model Dasar Mangsa Pemangsa

Sebelum mengkontruksi model mangsa dengan pemanenan pada mangsa maka akan terlebih dahulu diberikan model dasar mangsa pemangsa yaitu : Model Lotka Volterra (1926) :

Persamaan (1)

Dalam persamaan (1),

menyatakan angka kepadatan populasi mangsa

menyatakan angka kepadatan populasi pemangsa

menyatakan waktu

menyatakan perubahan kepadatan populasi mangsa terhadap waktu

menyatakan perubahan kepadatan populasi pemangsa terhadap waktu.

adalah konstanta bernilai positif.

Model (1) berdasarkan asumsi-asumsi memberikan pengertian bahwa :

adalah angka pertumbuhan pada populasi mangsa, populasi mangsa tumbuh secara logistic

adalah angka kematian alami pada populasi pemangsa

adalah angka penurunan kepadatan populasi mangsa karena terjadinya interaksi antara mangsa dan pemangsa

adalah angka pertumbhan kepadaan populasi pemangsa karena terjadinya interaksi antara mangsa dan pemangsa

adalah lambag terjadinya interaksi antara mangsa dan pemangsa.

Laju pertumbuhan perkapita populasi mangsa adalah selisih dari laju pertumbuhan intrinsic dengan laju berkurangnya populasi mangsa akibat interaksi dengan pemangsa. Laju pertumbuhan perkapita populasi pamangsa merupakan pertambahan laju kelahiran pemnagsa karena interaksi dengan mangsa dkurangi laju kematian pemangsa.

Dalam kehidupan yang nyata saat ini, model persamaan sudah tidak relevan karena populasi mangsa tidak selamanya meningkat atau populasi pemangsa tidak selamanya menurun. Dalam interaksi antara populasi mangsa terdapat respon dari mangsa dan terjadinya pencemaran lingkungan dalam ekosistem yang menyebabkan keracunan pada populasi mangsa dan pemangsa sehingga model perlu dikembangkan. Untuk menjawab permasalahan tersebut, model dikembangkan dengan menambahkan fungsi logistic, fungsi racun dan fungsi respon .

Berikut akan diberikan fungsi respon tersebut :

yang diperoleh dari model (1) merupakan representative dari banyaknya mangsa yang ditangkap pemnagsa persatuan daerah. Berdasarkan asumsi diperoleh representative baru yang menyatakan bahwa banyaknya mangsa persatuan daerah ditangkap (g(z)) berbanding lurus dengan angka penuruna kepadatan populasi mangsa karena terjadinya interaksi antara mangsa pemangsa (s), kepadatan populasi mangsa

dan waktu menangkap dan mengkonsumsi mangsa yang didapat oleh pemangsa

sehingga dinotasikan :

(2)

Lebih lanjut waktu

adalah waktu yang diperlukan pemangsa untuk menangkap dan mengkonsumsi mangsa, dinotasikan dengan :

(3)

Di mana

adalah waktu efektif yang diperlukan untuk menangkap mangsa,

adalah waktu rata-rata yang diperlukan pemangsa mengkonsumsi mangsa yang didapat,

adalah waktu yang diperlukan pemangsa mengkonsumsi mangsa yang didapat. Dari persamaan (3) diperoleh

Sehingga fungsi waktu dari persamaan (3) menjadi lebih relevan karena jumlah mangsa yang ditangkap akan berbanding lurus dengan waktu efektif yang diperlukan untuk menangkap mangsa. Persamaan (3) menjadi :